Методи нелінійного аналізу та топологічні методи теорії варіаційних нерівностей та еволюційних включень

1. Номер державної реєстрації теми – 0108U000521.
2. Науковий керівник – д.ф.–м.н. Андрєєв М.В.
3. Суть розробки, основні результати

Розроблено новий теоретичний апарат для конструктивного та системного вивчення еволюційних включень та мультиваріаційних нерівностей з нелінійними, немонотонними, некоерцитивними функціями взаємодії в загальному випадку, що, в свою чергу, вимагає якісного дослідження та розробки нових властивостей класів багатозначних немонотонних відображень, доведення нових теорем вкладення та апроксимації фазових та розширених фазових просторів, обґрунтування нових конструктивних методів пошуку наближених розв’язків та нових теорем про властивості розв’язуючого оператора для таких задач.

Серед оригінальних результатів слід виділити такі:

розроблено багатозначний метод штрафу для класів мультиваріаційних нерівностей в нескінченновимірних просторах з відображеннями типу Sk та з wλ0 --квазімонотонними відображеннями. Досліджено функціонально-топологічні властивості розв’язуючого оператора. Результати застосовано до некоерцитивних задач керування коефіцієнтами головної частини еліптичного рівняння з умовами Диріхле на границі у класі узагальнено соленоїдальних керувань, зокрема, розглянуто односторонні задачі;

розроблено некоерцитивну схему дослідження еволюційних включень з багатозначними відображеннями типу Sk в банахових просторах. Одержані результати застосовано до динамічних контактних задач з “нелінійним тертям”;

обґрунтовано метод Дубінського, метод скінчених різниць та метод Фаедо- Гальоркіна для розв’язків задачі Коші та періодичних розв’язків еволюційних включень з некоерцитивними багатозначними відображеннями типу Вольтерри в банахових просторах. Конструктивно обгрунтовано розв’язність для некоерцитивних граничних задач з виродженнями;

вивчено функціонально-топологічні властивості параметризованих диференціально-операторних включень з багатозначними відображеннями типу Sk та wλ0 –квазімонотонними відображеннями;

розроблено методи дослідження нелінійних еволюційних рівнянь першого порядку з операторами псевдомонотонного типу, збурених субдиференціалом локально ліпшицевого функціоналу;
за допомогою багатозначного методу штрафу досліджено сильні розв’язки еволюційних мультиваріаційних нерівностей з багатозначними +- коерцитивними wλ0 -псевдомонотонними відображеннями. Розглянуто мультиваріаційну нерівність з диференціальними операторами гідродинамічного типу, збуреними субдиференціалом локально ліпшицевого функціоналу;

розроблено багатозначний метод штрафу для слабких розв’язків еволюційних мультиваріаційних нерівностей з +-коерцитивними відображеннями, одержано нові апріорні оцінки для похідної по часу наближених розв'язків вихідної задачі, досліджено класи односторонніх задач з диференціальними операторами типу Лере-Ліонса;

доведено ряд нових властивостей для багатозначних відображень псевдомонотонного типу та відображень типу Sk в нескінченновимірних просторах. Впорядковано класи напівмонотонних відображень та енергетичних розширень диференціальних операторів з напівобмеженою варіацією;

одержано ряд нових теорем вкладення та апроксимаціїї спеціальних класів нескінченновимірних просторів розподілів, розроблено теореми про базис для таких просторів. Результати застосовано при дослідженні диференціально-операторних включень та еволюційних мультиваріаційних нерівностей.