Исследование актуальных проблем теории случайных процессов, математического анализа и краевых задач математической физики

Суть разработки состоит в: 1) обобщении теории правильно меняющихся функций и дальнейшем развитии теории псевдорегулярных функций; 2) развитии теории функций с невырожденными группами регулярных точек; 3) изучении асимптотического поведения решений стохастических дифференциальных уравнений; 4) изучении асимптотического поведения оценок функциональных параметров случайных процессов и систем Вольтерра; 5) исследовании распределений функционалов случайных процессов и полей, в частности гауссовских; 6) построении новых обобщений гипергеометрических функций и исследовании их свойств; 7) построении новых типов интегральных преобразований и интегральных уравнений.

Известная теорема Караматы об асимптотическом поведении интегралов от правильно меняющихся функций обобщена на интегралы от функций с невырожденными группами регулярных точек.
Доказаны теоремы о дуальности асимптотического поведения частного функций и частного их обобщенных обратных функций. Это позволило установить условия на коэффициенты сноса и диффузии стохастических дифференциальных уравнений, при которых решения этих уравнений асимптотически эквивалентны решениям обыкновенных дифференциальных уравнений.

Найдены распределения широкого класса функционалов от поля Ченцова. В частности, найдены точные выражения для распределения максимума поля вдоль криволинейных путей; также установлена асимптотика этих распределений.

Введены новые обобщения гипергеометрической функции, исследованы их основные свойства, даны их приложения в теории специальных функций, теории интегральных преобразований, интегральном исчислении, а также к краевым задачам математической физики и др. Установлены новые композиционные соотношения для операторов дробного интегро-дифференцирования.

Рассмотрен стохастический подход к задаче оценивания неизвестной импульсной функции для неустойчивых линейных систем Вольтерра с учетом внутренних шумов системы. При помощи теории многомерных сингулярных интегралов с циклическими ядрами установлены новые условия асимптотической нормальности соответствующих оценок, а также доказана сходимость функционалов от оценок.