Застосування стохастичних, статистичних та функціональних методів для аналізу асимптотичної поведінки випадкових полів

Суть роботи полягає в дослідженні асимптотичної поведінки випадкових полів та функціоналів від них, а також застосуванні отриманих результатів до теорії випадкових процесів, статистики випадкових процесів, математичного аналізу та математичної фізики. При розв’язанні поставлених задач було отримано наступні результати.

Для узагальнених множин відновлення встановлено посилений закон великих чисел та закон повторного логарифму у термінах включень множин та у метричних термінах, використовуючи метрики Хаусдорфа та Фреше-Нікодима. Крім того, отримано  функціональну граничну теорему для радіальних функцій в сенсі збіжності в сенсі збіжності за розподілом.

Для випадкових зарядів отримано рівномірний посилений закон великих чисел. Наведено застосування отриманих результатів до випадкових мір, породжених сумами випадкових величин, міченими точковими процесами та стохастичними інтегралами.

Досліджено клас правильно змінних послідовностей з не виродженими групами регулярних точок. Для таких послідовностей отримані деякі аналоги властивостей правильно змінних функцій. Проведено порівняння властивостей правильно змінних функцій та правильно змінних послідовностей, встановлено певні відмінності.  Крім того, у роботі розглянуто певні класи функцій, які узагальнюють правильно змінні, та отримані інтегральні представлення типу Карамати для таких функцій.

Для неоднорідного стохастичного диференціального рівняння з відокремленням стохастичних та детермінованих змінних досить загального типу отримано асимптотичну поведінку розв'язків в термінах параметрів рівняння. Результати застосовуються до задач про асимптотичну поведінку деяких конкретних рівнянь фінансової математики.

Для заданих послідовностей  та  та заданої функції f знайдено умови, за яких функція f зберігає еквівалентність послідовностей у сенсі , тобто умови, за яких зі співвідношення  випливає співвідношення

Досліджено граничну поведінку сум елементів лінійної авторегресійної послідовності у термінах повної збіжності і збіжності пов'язаних з нею рядів Сюя-Роббінса-Ердеша-Спітцера-Баума-Каца. Отримано повний аналог теорем Сюя-Роббінса-Ердеша та Спітцера, а також деякі частинні випадки теореми Баума-Каца. Крім того, встановлено посилений закон великих чисел для сум елементів авторегресійної послідовності у формі Колмогорова-Марцинкевича-Зігмунда.

Отримано посилену властивість слабкої консистентності оцінок Коенкера-Басcета в лінійній моделі регресії з нелінійно перетвореним гауссівським стаціонарним часовим рядом та сингулярним спектром в якості випадкового шуму.

Отримано нову достатню умову, за якої узагальнені розв'язки параболічної початково-крайової задачі для системи Петровського з однорідними початковими умовами Коші, є класичними. Умова формулюється у термінах приналежності правих частин задачі до деяких анізотропних просторів Хермандера.