Дослідження асимптотичних властивостей псевдорегулярних функцій та узагальнених процесів відновлення

Суть науково-технічної розробки полягає в дослідженні асимптотичної поведінки псевдорегулярних функцій та їхніх аналогів у стохастичному аналізі – узагальнених процесів відновлення, а також застосуванні отриманих результатів до теорії випадкових процесів, статистики випадкових процесів, математичного аналізу та математичної фізики.

В роботі:

- отримано низку нових результатів про асимптотичну поведінку послідовностей випадкових величин та векторів з лінійною регресійною залежністю. Зокрема, одержано остаточні критерії збіжності рядів багатовимірних регресійних послідовностей з довільними матричними коефіцієнтами, а такожвстановлено необхідні та достатні умови посиленого закону великих чисел у формі Марцинкевича-Зігмунда для таких послідовностей;

- істотно доповнено класичні результати теорії повної збіжності для послідовностей незалежних випадкових величин та векторів. Зокрема, встановлено критерії збіжності майже напевно емпіричних аналогів рядів Баума-Каца та Сью-Роббінса з вагами. Крім того, знайдено необхідні та достатні умови існування скінченних моментів таких емпіричних рядів;

- в теорії гауссівських випадкових процесів в узагальнення класичних результатів Дуба та Парка встановлено критерії еквівалентності загального гауссівського процесу броунівському руху, броунівському містку та процесу Орнштейна-Уленбека;

- подальший розвиток отримала теорія правильно змінних функцій. Зокрема, в рамках цієї теорії досліджено клас комплексно-значних функцій з невиродженими групами регулярних точок і доведено аналоги класичних теорем про зображення. В якості іншого узагальнення розглянуто матричнозначні правильно-змінні функції та доведено теореми про їх регулярізацію;

- суттєво розширено класичну теорію рекордів, започатковану в роботах А. Реньї. Зокрема, вивчено асимптотичну поведінку моментів та кількості рекордів у так званій -схемі;

- отримано нові важливі результати в якісній теорії стохастичних диференціальних рівнянь. Для широкого класу таких рівнянь досліджено асимптотичну поведінку розв’язкуна нескінченності, а також умови, за яких цей розв’язок є асимптотично невипадковим. Ці результати істотно узагальнюють класичні теореми Гіхмана та Скорохода;

- в узагальнення класичних результатів теорії відновлення досліджено асимптотичну поведінку аналогу функції відновлення для випадкового блукання у багатовимірному часі;

- розглянуто узагальнення стохастичної моделі паркування А. Реньї, яке дозволяє розрізняти водіїв з різним досвідом. Для такої моделі паркування описано асимптотичну поведінку середньої кількості припаркованих автомобілів;

- одержано нові важливі результати в нелінійному регресійному аналізі. Зокрема,досліджено асимптотичний розподіл оцінки Коенкера-Бассета параметра нелінійної моделі регрессії з сильно залежним шумом;

- подальшого розвитку зазнала теорія диференціальних рівнянь у частинних похідних. Зокрема, знайдено нові умови класичності узагальнених розв’язків початково–крайових та мішаних задач для лінійних параболічних рівнянь другого та вищих порядків. Ці умови сформульовано у термінах приналежності правих частин рівняння деяким просторам Хермандера.